Анвар Бобобеков родился 3 апреля 1978 года в Ташкентской области.
В 1997 году окончил Республиканскую Специализированную художественную школу-интернат искусств.
С 2002 по 2006 гг. проходил обучение в Национальном институте художеств и дизайна имени Камолиддина Бехзада на кафедре «Рекламы и прикладной графики». Его педагогами были Ф.Ф. Хайитов и Е.А. Королькова.
В 2018 году вступил в Творческий союз художников.
Регулярно принимает участие в ежегодно проводимых в республике и за рубежом выставках и конкурсах.
В 2019 г. В Ташкентском Доме фотографии состоялось открытие первой персональной выставки миниатюр Анвара Бобобекова «Восточное вдохновение».
Как известно, искусство миниатюры является важной частью историко-культурного наследия Узбекистана.
В период независимости нашей страны искусство миниатюры стало широким художественно-стилистическим направлением, вобрав в себя представителей самых разных поколений.
В 2020 году в ходе 15-й сессии Межправительственного комитета по охране нематериального культурного наследия искусство миниатюры Узбекистана, Азербайджана, Исламской Республикой Иран и Турции было внесено в Репрезентативный список нематериального культурного наследия человечества.
Несмотря на то, что миниатюра существует уже много веков, она продолжает развиваться, становясь мостом между прошлым и настоящим.